Question

已知命题P：复数z₁=3-3i，复数z2=

m2-4m-10

m+2

+(m2-2m-12)i，(m∈R)，z₁+z₂是虚数；命题Q：关于x的方程2x²-4（m-1）x+m²+7=0的两根之差的绝对值小于2．若P∧Q为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：根据复数的代数形式求得命题p为真时m的范围；利用韦达定理求得命题q为真时m的范围，再根据复合命题真值表得若P∧Q为真命题，则命题p、q都是真命题，由此可求出答案．

解答：解：由题意知，z1+z2=

m2-4m-10

m+2

+(m2-2m-12)i+3-3i=

m2-m-4

m+2

+(m2-2m-15)i，
若命题P为真，z₁+z₂是虚数，则有m²-2m-15≠0且m≠-2
∴m的取值范围为m≠5且m≠-3且m≠-2（m∈R）；
若命题Q为真，则有

△=16(m-1)2-8(m2+7)≥0 |x1-x2|＜2⇒(x1+x2)2-4x1x2＜4

，
而x1+x2=2(m-1)，x1x2=m2+7，
∴有

m2-4m-5≥0 m2-4m-7＜0

⇒2-

11

＜m≤-1或5≤m＜2+

11

，
由复合命题真值表得，若P∧Q为真命题，则命题p、q都是真命题，
∴实数m的取值范围为(2-

11

，-1]∪(5，2+

11

)．

点评：本题借助考查复合命题的真假判定，考查了复数的代数形式及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是求得简单命题为真时的条件．