Question

设二次函数f（x）=ax²-2x-2a（a＞0）
（1）若f（x）在x∈[0，2]的最小值为-3，求a的值；
（2）若f（x）≤0，在x∈（1，3）内恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）配方，根据对称轴与区间的位置关系，分类讨论，利用f（x）在x∈[0，2]的最小值为-3，即可求a的值；
（2）f（x）≤0，在x∈（1，3）内恒成立，等价于ax²-2x-2a≤0在x∈（1，3）内恒成立，分类讨论，即可得到结论．

解答：解：（1）f(x)=a(x-

1

a

)2-

1

a

-2a
①0≤

1

a

≤2，即a≥

1

2

时，f（x）_min=f（

1

a

）=-2a-

1

a

=-3，∴2a²-3a+1=0
∴a=

1

2

或a=1（舍去），∴a=

1

2

②

1

a

＞2，即0＜a＜

1

2

，f（x）_min=f（2）=-4a-4-2a=-3，∴2a=1，∴a=

1

2

（舍去）；
（2）f（x）≤0，在x∈（1，3）内恒成立，等价于ax²-2x-2a≤0在x∈（1，3）内恒成立，则
①

a＞0 f(1)=a-2-2a≤0 f(3)=9a-6-2a≤0

，∴0＜a≤

6

7

②a=0时，不成立；
③

a＜0 f(1)=a-2-2a≤0

，∴-2≤a＜0
综上可知实数a的取值范围为-2≤a＜0或0＜a≤

6

7

．

点评：本题考查二次函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，恰当分类是关键．