题目内容
10．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项；
（Ⅱ）求数列{an•2n}的前n项和Tn．
分析 （Ⅰ）设{an}的公差为d，由题意得（1+2d）2=1（1+8d），可求得d=1，故可求得数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法，即可求出数列{an•2n}的前n项和Tn．
解答 解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，由题意得（1+2d）2=1（1+8d），
得d=1或d=0（舍去），
∴{an}的通项公式为an=1+（n-1）d=n．
（Ⅱ）∵an•2n=n•2n，
∴Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，
∴2Tn=1•22+2•23+3•24+…+（n-1）•2n+n•2n+1，
两式相减得-Tn=21+22+23+24+…+2n-n•2n+1=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=-2+2n+1-n•2n+1=（1-n）2n+1-2，
∴Tn=（n-1）2n+1+2．
点评 本题考查数列的前n项和的求法，等差数列和等比数列的性质，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．
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