Question

某公司为了实现2013年1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%．
（1）请指出符合公司要求的模型应该满足的条件；
（2）现有三个奖励模型：y=1.003^x，y=lgx+2，y=

10x

20

，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？说明理由．（参考数据：1.003⁶⁰⁰≈6）

Answer 1

分析：（1）根据奖励方案，将文字语言转化为符号语言，可得符合公司要求的模型应该满足的条件；
（2）对三个奖励模型，结合（1）中的条件进行验证，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%  …（3分）
（2）对于y=1.003^x，易知满足①；但当x＞600时，y＞6，不满足公司的要求…（6分）
（2）对于y=lgx+2，易知满足①，当x∈[10，1000]时，y≤lg1000+2，
∵y≤lg1000+2-5=0，∴满足②
但lg10+2=3＞

10

4

，
∴不满足③，不满足公司的要求；…（9分）
（3）对于y=

10x

20

，易知满足①，当x∈[10，1000]时，y≤

10000

20

=5，∴满足②
又x∈[10，1000]时，y=

10x

20

≤

5 x

20

=

x

4

≤

x

4

由此可知满足③
综上所述，只有奖励模型：y=

10x

20

能完全符合公司的要求   …（12分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．