Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=1，M为AB的中点，N为A₁B₁上的点，且A₁N=2NB₁．
（1）求证：CM⊥平面ABB₁A₁；
（2）求异面直线MN与B₁C₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）根据直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中AA₁⊥CM和△ACB的特征可得CM⊥AB然后利用线面垂直的判定定理即可得证．
（2）根据题意可依C为原点，射线CA、CB、CC₁分别x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系然后可求出

MN

=( -

1

6

 ， 

1

6

 ， 1 )

c1B1

=（0，1，0）再利用向量的夹角公式可求出MN与

C1B1

所成的角θ的余弦值为

38

38

（＞0）故根据夹角的范围可得异面直线MN与B₁C₁所成角的大小为arccos

38

38

．

解答：证明：（1）依题意，

CM⊥AB AA1⊥底面 ABC⇒AA1⊥CM

⇒CM⊥平面ABB₁A₁．
（2）以C为原点，射线CA、CB、CC₁分别x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系
则A ( 1 ， 0 ， 0 ) ， B ( 0 ， 1 ， 0 ) ， M ( 

1

2

 ， 

1

2

 ， 0 ) ， N ( 

1

3

 ， 

2

3

 ， 1 ) ， C1( 0 ， 0 ， 1 ) ， B1( 0 ， 1 ， 1 )．
∴

MN

=( -

1

6

 ， 

1

6

 ， 1 )，

c1B1

=（0，1，0）
设MN与

C1B1

所成的角为θ，cosθ=

MN • C1B1

| MN |•| C1B1 |

=

38

38

，θ=arccos

38

38

故异面直线MN与B₁C₁所成角的大小为arccos

38

38

点评：本题主要考查了线面垂直的证明和异面直线所成的角．解题的关键是根据题中条件找到符合线面垂直的判定定理的条件而对于异面直线所成的角的求解通常可根据所给图形的特征建立空间直角坐标系求出相应直线所对应的坐标然后利用向量的夹角公式所得出的余弦值的正负再结合异面直线所成的角的范围（0，

π

，2

]即可求解！