Question

设函数f（x）=（x-1）²+blnx，其中b为常数．
（1）当b＞

1

2

时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

都成立．

Answer 1

分析：（1）首先函数的定义域为（0，+∞），然后求出函数的导数f′（x），将f′（x）变形为

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

，再结合x＞0和b＞

1

2

得f′（x）＞0，可得函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
（2）方程f′(x)=

2x2-2x+b

x

=0在（0，+∞）有两个不相等的实数根时，函数有极值．然后利用根的判别式算得当b＜

1

2

时，函数存在极值点，最后根据b≤0和0＜b＜

1

2

两种情况分别得出函数的极值点；
（3）由（2）可知当b=-1时，函数f（x）=（x-1）²-lnx，利用其单调性，取自变量x=1+

1

n

，可以证出n≥3时有ln（n+1）-lnn＞

1

n2

成立，再设出函数h（x）=（x-1）-lnx，用类似的方法得出n≥3时ln(n+1)-lnn=ln

n+1

n

＜

1

n

ln(n+1)-lnn=ln(1+ 1 n )＜ 1 n

成立，两者相结合可得对任意不小于3的正整数n，不等式

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

都成立．

解答：解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=2x-2+

b

x

=

2x2-2x+b

x

=

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

(x＞0)
∴当b＞

1

2

时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
（2）①由（Ⅰ）得，当b＞

1

2

时，函数f（x）在定义域上无极值点．
②b=

1

2

时，f′(x)=

(2x-1)2

2x

=0有两个相同的解x=

1

2

，
但当x∈（0，

1

2

）时，f'（x）＞0；
当x∈（

1

2

，+∞）时，f'（x）＞0，
∴当b=

1

2

时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点．
③当b＜

1

2

时，f'（x）=0有两个不同解，x1=

1

2

-

1-2b

2

，x2=

1

2

+

1-2b

2

∴（i）b≤0时，x1=

1

2

-

1-2b

2

≤0∉（0，+∞），舍去，而x2=

1

2

+

1-2b

2

≥1∈（0，+∞），
此时f'（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	减	极小值	增

由此表可知：∵b≤0时，f（x）有惟一极小值点，x=

1

2

+

1-2b

2

，
（ii）当0＜b＜

1

2

时，0＜x₁＜x₂＜1
此时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

由此表可知：0＜b＜

1

2

时，f（x）有一个极大值x1=

1

2

-

1-2b

2

和一个极小值点x2=

1

2

+

1-2b

2

；
综上所述：当且仅当b＜

1

2

时f（x）有极值点；
当b≤0时，f（x）有惟一最小值点，x=

1

2

+

1-2b

2

；
当0＜b＜

1

2

时，f（x）有一个极大值点x=

1

2

-

1-2b

2

和一个极小值点x=

1

2

+

1-2b

2

（3）由（2）可知当b=-1时，函数f（x）=（x-1）²-lnx，
此时f（x）有惟一极小值点x=

1

2

+

1-2b

2

=

1+ 3

2

且x∈(0，

1+ 3

2

)时，f'（x）＜0，f（x）在（0，

1+ 3

2

）为减函数
∵当n≥3时，0＜1＜1+

1

n

≤

4

3

＜

1+ 3

2

，
∴恒有f（1）＞f（1+

1

n

），即恒有0＞

1

n2

-ln(1+

1

n

)
∴当n≥3时恒有ln（n+1）-lnn＞

1

n2

成立
令函数h（x）=（x-1）-lnx（x＞0）则h'（x）=1-

1

x

=

x-1

x

∴x＞1时，h'（x）＞0，又h（x）在x=1处连续
∴x∈[1，+∞）时h（x）为增函数
∵n≥3时1＜1+

1

n

∴h（1+

1

n

）＞h（1），即

1

n

-ln(1+

1

n

)＞0
∴ln（n+1）-lnn=ln（1+

1

n

）＜

1

n

综上述可知n≥3时，恒有

1

n

＞ln（n+1）-lnn＞

1

n2

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性和含有字母参数的函数极值的讨论，属于难题．