Question

（本小题满分14分）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点、，且
。
（1）试求函数的单调区间；
（2）已知各项均为负的数列满足，求证：；
（3）设，为数列的前项和，求证：。

Answer 1

（1）设
    ∴    ∴
由
又∵   ∴    ∴   …… 3分 
于是
由得或；  由得或
故函数的单调递增区间为和，
单调减区间为和                      ……4分
（2）由已知可得，    当时，
两式相减得
∴或
当时，，若，则这与矛盾
∴    ∴                      ……6分
于是，待证不等式即为。为此，我们考虑证明不等式
令则，
再令，    由知
∴当时，单调递增   ∴  于是
即   　　　①
令，   由知
∴当时，单调递增   ∴  于是
即　　　　②
由①、②可知                 ……10分
所以，，即        ……11分
（3）由（2）可知  则
在中令n=1,2,3…………..2010并将各式相加得

即    

解析