Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，，，.为线段的中点.

（1）证明：面；

（2）求与平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据已知条件证明,结合平面.即可得证;

（2）解法一（几何法）:先找到在平面内的射影直线,则所求角可得,在直角三角形中求出此角,即可得结果;

解法二（空间向量法）:建立空间直角坐标系,确定各点坐标,求出坐标和平面的法向量坐标,结合线面角公式，即可得结果.

（1）取中点,因为,,

所以,,∴.

因为平面,平面,所以,

因为平面,平面,,

所以面.

（2）法一：连结,由（1）平面可得,

与平面所成角为.

∵,分别是,的中点，

∴,

因为,,

所以,，

因为,所以,

∴在中,

，

∴.

因此与平面所成的角的正弦值为.

法二：以为坐标原点,,平行于的直线

为，，轴,建立如图所示空间直角坐标系，则因为

,,所以,,

因为,所以,因此,,

,,,

从而为平面一个法向量,

,,

.

因此与平面所成的角的正弦值为.