Question

【题目】一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是 ．
（Ⅰ）若袋中共有10个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于 ． 并指出袋中哪种颜色的球个数最少．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（i）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，
设袋中白球个数为x，则P（A）=1﹣=，
解得x=5，∴白球个数是5个．
（ii）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）===，
P（ξ=1）===，
P（ξ=2）===
P（ξ=3）===，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P

Eξ=x0+x2+x3=．
证明：（Ⅱ）设袋中有n个球，其中y个黑球，
由题意，得y=n，
∴2y＜n，2y≤n﹣1，
∴，
记“从袋中任意取出两个球，至少有1个黑球”为事件B，
则P（B）=，
∴白球的个数比黑球多，白球个数多于n，黑球个数少于n，
故袋中红球个数最少．
【解析】（Ⅰ）设袋中白球个数为x，由对立事件概率计算公式得：1﹣= ， 由此能求出白球个数．
（ii）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的数学期望Eξ
（Ⅱ）设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意，得y=n，从而2y＜n，2y≤n﹣1，进而 ， 由此能证明从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于 ． 并得到袋中哪种颜色的球个数最少。