Question

设

a

=(2，6，-3)，则与

a

平行的单位向量的坐标为

 

，同时垂直于

a

=(2，2，1)，

b

=(4，5，3)的单位向量

e

=

 

．

Answer 1

分析：设出满足条件的向量的坐标，然后根据两个向量平行，则存在实数使

u

=μ

a

，两个向量垂直则向量的数量积为0，单位向量的模为1，构造方程（组），解方程（组）即可求出满足条件的向量的坐标．

解答：解：①设与

a

平行的单位向量的坐标为

u

则

u

=μ

a

=（2μ，6μ，-3μ）
且|

u

|=1=

(2μ)2+(6μ)3+(-3μ)2

解得μ=±

1

7

∴

u

=(

2

7

，

6

7

，-

3

7

)或

u

=(-

2

7

，-

6

7

，

3

7

)
②同时垂直于

a

=(2，2，1)，

b

=(4，5，3)的单位向量

e

=（x，y，z）
则

e • a =0 e • b =0 →e|=1

即

2x+2y+z=0 4x+5y+3z=0 x2+y2+z2=1

解得：

x= 1 3 y=- 2 3 z= 2 3

或

x=- 1 3 y= 2 3 z=- 2 3

∴

e

=(

1

3

，-

2

3

，

2

3

)或

e

=(-

1

3

，

2

3

，-

2

3

)
故答案为：(

2

7

，

6

7

，-

3

7

)或(-

2

7

，-

6

7

，

3

7

)；(

1

3

，-

2

3

，

2

3

)或(-

1

3

，

2

3

，-

2

3

)

点评：本题考查的知识点是向量语文表述线线的垂直、平行关系，其中根据两个向量平行，则存在实数使

u

=μ

a

，两个向量垂直则向量的数量积为0，单位向量的模为1，构造方程（组），是解答本题的关键．