题目内容
设函数f（x）=-x（x-m）2．
（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的方程；
（Ⅱ）当m＜0时，求函数f（x）的单调增区间和极小值．
（Ⅰ）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的方程；
（Ⅱ）当m＜0时，求函数f（x）的单调增区间和极小值．
分析：（Ⅰ）当m=1时，求导数，得到曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率，进而得到切线的方程；
（Ⅱ）求导数f'（x）=-（3x-m）（x-m）．当m＜0时，m＜
，故得到函数f（x）的单调增区间和极小值．
（Ⅱ）求导数f'（x）=-（3x-m）（x-m）．当m＜0时，m＜
| m |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）当m=1时，f（x）=-x（x-1）2=-x3+2x2-x，得f（2）=-2，
由f'（x）=-3x2+4x-1，得f'（2）=-5．…（4分）
所以，曲线y=-x（x-1）2在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），整理得5x+y-8=0．…..（6分）
（Ⅱ）f（x）=-x（x-m）2=-x3+2mx2-m2x，f'（x）=-3x2+4mx-m2=-（3x-m）（x-m）．
令f'（x）=0解得x=
或x=m．…．（10分）
由于m＜0，当x变化时，f'（x）的取值情况如下表：
因此函数f（x）的单调增区间是(m，
)，
且函数f（x）在x=m处取得极小值f（m）=0．…．…..（13分）
由f'（x）=-3x2+4x-1，得f'（2）=-5．…（4分）
所以，曲线y=-x（x-1）2在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），整理得5x+y-8=0．…..（6分）
（Ⅱ）f（x）=-x（x-m）2=-x3+2mx2-m2x，f'（x）=-3x2+4mx-m2=-（3x-m）（x-m）．
令f'（x）=0解得x=
| m |
| 3 |
由于m＜0，当x变化时，f'（x）的取值情况如下表：
| x | （-∞，m） | m | (m，
|
|
(
| ||||||
| f'（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| m |
| 3 |
且函数f（x）在x=m处取得极小值f（m）=0．…．…..（13分）
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线的切线方程，以及函数单调区间等有关基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
| ||||||||
C、[-
| ||||||||
D、[-
|