Question

现有下列命题：
①设a，b为正实数，若a²-b²=1，则a-b＜1；
②△ABC若acosA=bcosB，则△ABC是等腰三角形；
③数列{n（n+4）（）ⁿ中的最大项是第4项；
④设函数f（x）=则关于x的方程f²（x）+2f（x）=0有4个解；
⑤若sinx+siny=，则siny-cos²x的最大值是．
其中的真命题有    ．（写出所有真命题的编号）．

Answer 1

【答案】分析：①将a²-b²=1，分解变形为（a+1）（a-1）=b²，即可证明a-1＜b，即a-b＜1；
②利用余弦定理能推导出（a²-b²）[c²-（a²+b²）]=0，由此得到△ABC是等腰三角形或直角三角形；
③求数列的最大值，可通过做差或做商比较法判断数列的单调性处理；
④根据函数f（x）=，及f²（x）+2f（x）=0解方程求出方程根的个数，可判断其真假；
⑤由题意得siny=-sinx，且-1≤-sinx≤1，得到sinx的取值范围，把所求的式子配方利用二次函数的性质求出其最大值．
解答：解：①若a²-b²=1，则a²-1=b²，即（a+1）（a-1）=b²，
∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，故①正确；
②△ABC中，∵acosA=bcosB，
∴a•=b•，
整理，得（a²-b²）[c²-（a²+b²）]=0，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故②错误；
③an=n（n+4）（）n，则==•≥1，
则2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），即n²≤10，所以n＜4，
即n＜4时，a_n+1＞an，
当n≥4时，a_n+1＜an，
所以a₄最大，故③正确；
④∵f（x）=，
∴当f（x）=0时，
x=1，或x=0，或x=2，
当f（x）=-2时，x=10.1或x=0.99，
故方程有5个解，故④错误；
⑤∵sinx+siny=，∴siny=-sinx，∵-1≤-sinx≤1，∴-≤sinx≤1，
∴siny-cos²x=-sinx-（1-sin²x）
=（sinx-）2-，∴sinx=-时，siny-cos²x的最大值为（--）2-=，
故⑤错误．
故答案为：①③．
点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，注意不等式、三角函数、数列、零点等知识点的合理运用．