题目内容

已知f（x）=sin²wx+ $数学公式$ sin2wx- $数学公式$ （x∈R，w＞0），若f（x）的最小正周期为2π．
（1）求f（x）的表达式和f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[- $数学公式$ ， $数学公式$ ]上的最大值和最小值．

解：（1）由已知f（x）=sin²wx+ $\text{[math]}$ sin2wx- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （1-cos2wx）+ $\text{[math]}$ sin2wx- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ sin2wx- $\text{[math]}$ cos2wx
=sin（2wx- $\text{[math]}$ ）．
又由f（x）的周期为2π，则2π= $\text{[math]}$ ?2w=1?w= $\text{[math]}$ ，
?f（x）=sin（x- $\text{[math]}$ ），
2kπ- $\text{[math]}$ ≤x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）?2kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z），
即f（x）的单调递增区间为
[2kπ- $\text{[math]}$ ，2kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）．
（2）由x∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]?- $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$
?- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ≤x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ?- $\text{[math]}$ ≤x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$
?sin（- $\text{[math]}$ ）≤sin（x- $\text{[math]}$ ）≤sin $\text{[math]}$ ．∴- $\text{[math]}$ ≤sin（x- $\text{[math]}$ ）≤1．
故f（x）在区间[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]的最大值和最小值分别为1和- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用二倍角的余弦公式，两角差的正弦，以及三角函数的周期化简f（x）的表达式，根据正弦函数的单调性，求f（x）的单调递增区间；
（2）x∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，推出x- $\text{[math]}$ 的范围，求sin（x- $\text{[math]}$ ）的范围，然后求f（x）在区间[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上的最大值和最小值．
点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，三角函数的最值，考查计算能力，是中档题．