Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足(

2

a-c)

BA

•

BC

=c

CB

•

CA

．
（1）求角B的大小；
（2）若|

BA

-

BC

|=

6

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用向量数量积的运算法则化简已知可得(

2

a-c)cosB=bcosC，然后利用正弦定理化简后，根据sinA不为0得到cosB的值，根据B的范围及特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）根据向量的减法法则由|

BA

-

BC

|=

6

得到|

CA

|=

6

即得到b的平方等于6，然后根据余弦定理表示出b的平方，把b的平方代入后，利用基本不等式即可求出ac的最大值，根据三角形的面积公式，利用ac的最大值及B的度数求出sinB的值，即可得到面积的最大值．

解答：解：（1）(

2

a-c)

BA

•

BC

=c

CB

•

CA

可化为：(

2

a-c)

|BA

|•|

BC|

cosB=c

|CB|

•

|CA

|，
即：(

2

a-c)cacosB=cabcosC，
∴(

2

a-c)cosB=bcosC，
根据正弦定理有(

2

sinA-sinC)cosB=sinBcosC，
∴

2

sinAcosB=sin(C+B)，即

2

sinAcosB=sinA，
因为sinA＞0，所以cosB=

2

2

，即B=

π

4

；
（II）因为|

BA

-

BC

|=

6

，所以|

CA

|=

6

，即b²=6，
根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
可得6=a2+c2-

2

ac，
有基本不等式可知6=a2+c2-

2

ac≥2ac-

2

ac=(2-

2

)ac，
即ac≤3(2+

2

)，
故△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

2

4

ac≤

3( 2 +1)

2

，
即当a=c=

6+3 2

时，
△ABC的面积的最大值为

3( 2 +1)

2

．

点评：此题考查学生灵活运用平面向量的数量积的运算法则，灵活运用正弦、余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道综合题．