Question

数列{a_n}中，，试证：．

Answer 1

【答案】分析：由题设知a_n＞0，当n=1时，；当n=2时，．假设当n=k（k∈N）时，，那么当n=k+1时，，．再用作商法比较和的大小．从而证明出，．
解答：证明：∵a₁=2，，∴a_n＞0，
∵0.5a_n²-a_n+1a_n+1=0，由△=a_n+1²-2≥0，得（舍去）或．
当n=1时，；
当n=2时，．
假设当n=k（k∈N）时，，
那么当n=k+1时，，
∵，当且仅当时等号成立，，
∴．
面用作商法比较和的大小．
∵=，
∴，
∴，
即当n=k+1时，成立．
∴对于任意n∈N，均成立．
点评：本题考查数列的极限及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．