Question

【题目】（1）若函数的图象在处的切线垂直于直线，求实数的值及直线的方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若，求证： .

Answer 1

【答案】（1） , ；（2）当时， 的单调递增区间是；当时， 的单调递增区间是，单调递减区间是；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，根据切线的斜率求出的值，从而求出函数的切点，点斜式求出切线方程即可；（2）求出，分别令 得增区间， 得减区间；（3）由时， ，在上单调递减，得到，从而证明结论.

试题解析：（1）∵（），定义域为，∴

∴函数的图象在处的切线的斜率

∵切线垂直于直线，∴，∴

∴， ，∴切点为

∴切线的方程为，即.

（2）由（1）知： ，

当时， ，此时的单调递增区间是；

当时，

若，则；若，则

此时的单调递增区间是，单调递减区间是

综上所述：

当时， 的单调递增区间是；

当时， 的单调递增区间是，单调递减区间是.

（3）由（2）知：当时， 在上单调递减

∴时，

∴时， ，即.