Question

设圆Q过点P(0,2),且在x轴上截得的弦RG的长为4.

(1)求圆心Q的轨迹E的方程;

(2)过点F(０,１),作轨迹E的两条互相垂直的弦AB、CD,设AB、CD的中点分别为M、N,试判断直线MN是否过定点？并说明理由.

Answer 1

解:(1)设圆心Q的坐标为(x,y),如图,过圆心Q作QH⊥x轴于H,

则H为RG的中点,在Rt△RHQ中,QR²=QH²+RH².2分∵QR=QP,RH=2,

∴x²+(y-2)²=y²+4,即x²=4y.

(2)设A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),M(x_M,y_M),N(x_N,y_N),直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),则x_A²=4y_A,①

x_B²=4y_B.②

由①-②得x_A+x_B==4k,∴x_m=2k.∵点M(x_M,y_M)在直线y=kx+1上,

∴y_M=kx_M+1=2k²+1.∴点Ｍ的坐标为(2k,2k²+1).

同理可得x_C+x_D=,x_n=,y_n=x_N+1=+1.

∴点N的坐标为(,+1).

直线MN的斜率为k_MN=,其方程为

y-2k²-1=(x-2k),整理得k(y-3)=(k²-1)x,显然,不论k为何值,点(0,3)均满足方程,

∴直线MN恒过定点(0,3).