Question

设圆Q过点P（0，2），且在x轴上截得的弦RG的长为4．
（1）求圆心Q的轨迹E的方程；
（2）过点F（0，1），作轨迹E的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB、CD的中点分别为M，N，试判断直线MN是否过定点？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）借助于图象把已知条件转化为|QR|²=|QH|²+|RH|²，就可求出圆心Q的轨迹E的方程；
（2）先利用条件求出AB的中点M的坐标与直线AB的斜率之间的关系式，以及CD的中点N与直线CD的斜率之间的关系式；再求出直线MN的方程，整理可以得到直线MN所过定点．
解答：解：（1）设圆心Q的坐标为（x、y），如图过圆心Q作QH⊥x轴于H，
则H为RG的中点，在Rt△RHQ中，|QR|²=|QH|²+|RH|²
∵|QR|=|QP|，|RH|=2，
∴x²+（y-2）²=y²+4
即x²=4y，所以轨迹E的方程为x²=4y．（5分）

（2）设A（x_A，y_A）、B（x_B，y_B），M（x_m，y_m）、N（x_N，y_N）
直线AB的方程为y=kx+1（k≠0），联立x²=4y有：x²-4kx-4=0
∴，y_M=kx_M+1=2k²+1，
∴点M的坐标为（2k，2k²+1）．（7分）
同理可得：点N的坐标为．
直线MN的斜率为，
其方程为，整理得k（y-3）=（k²-1）x，
不论k为何值，点（0，3）均满足方程，
∴直线MN恒过定点（0，3）．（12分）
点评：本题涉及到求轨迹方程问题．在求动点的轨迹方程时，一般是利用条件找到关于动点坐标的等式，整理可得所求方程．