题目内容

已知双曲线C与椭圆 $数学公式$ 有相同的焦点，实半轴长为 $数学公式$ ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线 $数学公式$ 与双曲线C有两个不同的交点A和B，且 $数学公式$ （其中O为原点），求k的取值范围．

解：（1）设双曲线的方程为 $\text{[math]}$ ，
由题意知， $\text{[math]}$ ，∴b²=c²-a²=1，解得b=1，
故双曲线方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）将 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，且k²＜1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
又k²＜1，∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
所以k的取值范围为（-1，- $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ，1）．
分析：（1）设双曲线的方程为 $\text{[math]}$ ，由已知易求a，c，根据a，b，c的平方关系即可求得b值；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞2，联立方程组消掉y，根据韦达定理即可得到关于k的不等式，注意判别式大于0，解出即得k的范围．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及双曲线标准方程的求解，考查向量数量积运算及韦达定理的应用，考查学生的运算能力及对问题转化能力．