Question

已知关于坐标轴对称的椭圆经过两点A（0，2）和B(

1

2

，

3

)；
（1）求椭圆的标准方程
（2）若点P是椭圆上的一点，F₁和F₂是焦点，且∠F₁PF₂=30°，求△F₁PF₂的面积、

Answer 1

分析：（1）设经过A（0，2），B(

1

2

，

3

)的椭圆标准方程为mx²+ny²=1，代入A、B得

4n=1 1 4 m+3n=1

，由此能求出椭圆方程．
（2）在椭圆x2+

y2

4

=1中，a=2，b=1，c=

a2-b2

=

3

，由点P在椭圆上，知|PF₁|+|PF₂|=2a=4．由余弦定理知：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=1，由此得（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=4，从而得到S△PF1F2=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin30°=2-

3

．

解答：解：（1）设经过两点A（0，2），B(

1

2

，

3

)的椭圆标准方程为
mx²+ny²=1，代入A、B得

4n=1 1 4 m+3n=1

?

m=1 n= 1 4

，
∴所求椭圆方程为x2+

y2

4

=1、（5分）
（2）在椭圆x2+

y2

4

=1中，a=2，b=1、∴c=

a2-b2

=

3

又∵点P在椭圆上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a=4、①（6分）
由余弦定理知：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=12 ②（8分）
把①两边平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=16，③
③-②得（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=4，
∴|PF₁|•|PF₂|=4（2-

3

），（10分）
∴S△PF1F2=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin30°=2-

3

、（12分）

点评：本题考查椭圆和直线的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的灵活选用．