Question

10．S_n为数列{a_n}的前n项和，已知${a_n}＞0，4{S_n}=（{{a_n}+3}）（{{a_n}-1}），（{n∈{N^*}}）$．则{a_n}的通项公式a_n=2n+1．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，可得4S_n=a_n²+2a_n-3，进一步得到4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3，两式作差可得数列{a_n}是首项为3、公差d=2的等差数列，则数列通项公式可求．

解答 解：由$4{S}_{n}=（{a}_{n}+3）（{a}_{n}-1）={{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}-3$，
可知4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3，
两式相减得a_n+1²-a_n²+2（a_n+1-a_n）=4a_n+1，
即2（a_n+1+a_n）=a_n+1²-a_n²=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，
又∵a₁²+2a₁=4a₁+3，
∴a₁=-1（舍）或a₁=3，
∴数列{a_n}是首项为3、公差d=2的等差数列，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3+2（n-1）=2n+1．
故答案为：2n+1．

点评 本题考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．