题目内容

已知函数f（x）=x²（x+a）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a≠0时，求f（x）的单调区间．

解：f（x）=x²（x+1）=x³+x²f'（x）=3x²+2x…（1分）
令3x²+2x=0则 $\text{[math]}$ …（2分）

x	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

…（4分）∴当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ …（5分）
当x=0时，f（x）_极小值=f（0）=0…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=x³+ax²∴f'（x）=3x²+2ax=x（3x+2a）…（7分）
①当a＜0时， $\text{[math]}$
令f'（x）=3x²+2ax＞0得x＜0或 $\text{[math]}$ …（8分）
令f'（x）=3x²+2ax＜0得 $\text{[math]}$ …（9分）∴f（x）的单调增区间为（-∞，0）， $\text{[math]}$ ，单调减区间为 $\text{[math]}$ ．…（10分）
②当a＞0时， $\text{[math]}$
令f'（x）=3x²+2ax＞0得 $\text{[math]}$ 或x＞0…（11分）
令f'（x）=3x²+2ax＜0得 $\text{[math]}$ …（12分）∴f（x）的单调增区间为 $\text{[math]}$ ，（0，+∞）．单调减区间为 $\text{[math]}$ ．…（13分）
综上可知，当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-∞，0）， $\text{[math]}$ ，单调减区间为 $\text{[math]}$ ；
当a＞0时，f（x）的单调增区间为 $\text{[math]}$ ，（0，+∞），单调减区间为 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由已知中函数f（x）=x²（x+a），令a=1，我们可以以求出函数的解析式，进而求出其导函数的解析式，进而分析出函数的单调性，最后求出f（x）的极值；
（Ⅱ）根据已知中函数f（x）=x²（x+a），我们求出导函数的解析式，由a≠0可知我们要分a＞0和a＜0两种情况进行分类讨论，分别确定出导函数的符号，进而判断出f（x）的单调区间．
点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中解答的关键的根据已知函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，并判断其符号．