Question

20090513

（本小题12分）

       如图，已知为平行四边形，，，，点在上，，，与相交于．现将四边形沿折起，使点在平面上的射影恰在直线上．

   （Ⅰ）求证：平面；

   （Ⅱ）求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；

   （Ⅲ）求三棱锥N—ABF的体积．

Answer 1

解：（Ⅰ），得面

       则平面平面，

       由平面平面,

       则在平面上的射影在直线上,

       又在平面上的射影在直线上,

       则在平面上的射影即为点,

       故平面．         ……………4分

   （Ⅱ）法一．如图，建立空间直角坐标系，

       ∵在原图中AB=6，∠DAB=60°，

       则BN=，DN=2，∴折后图中BD=3，BC=3

       ∴N（0，，0），D（0，0，3），C（3，0，0）=（-1，0，0）

     ∴（-1，，0）（0，，-3）

       ∴=

       ∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为  ……………8分

       法二．在线段BC上取点M，使BM=BF，则MN∥BF

       ∴∠DNM或其补角为DN与BF所成角．

       又MN=BF=2，DM=．

       ∴

       ∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为

   （Ⅲ）∵AD∥EF，       ∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，

       ∴

       即所求三棱锥的体积为       ……………12分