Question

已知函数f（x）=x-sinx
（Ⅰ）若x∈[0，π]，试求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若x∈[0，π]，θ∈[0，π]，求证：

2f(θ)+f(x)

3

≥f(

2θ+x

3

)；
（Ⅲ）若x∈[kπ，（k+1）π]，θ∈（kπ，（k+1）π），k∈z，猜想

2f(θ)+f(x)

3

与f(

2θ+x

3

)； 的大小关系．（不必证明）

Answer 1

分析：（Ⅰ）当x∈[0，π]时，求导函数f′（x）=1-cosx＞0，从而f（x）为增函数，故可求f（x）的值域；
（Ⅱ）构造函数g(x)=

2f(θ)+f(x)

3

-f(

2θ+x

3

)，利用导数等于0得，x=θ，从而可知x∈[0，π]时，g（x）≥g（θ）=0，故得证；
（Ⅲ）在题设条件下，同（Ⅱ）当k为偶数时

2f(θ)+f(x)

3

≥f(

2θ+x

3

)；当k为奇数时

2f(θ)+f(x)

3

≤f(

2θ+x

3

)．

解答：解：（Ⅰ）当x∈[0，π]时，f′（x）=1-cosx＞0，
∴f（x）为增函数
∴f（x）的值域为[0，π]
（Ⅱ）设g(x)=

2f(θ)+f(x)

3

-f(

2θ+x

3

)
∴g/(x)=

1

3

(-cosx+cos

2θ+x

3

)
由导数等于0得，x=θ
∴x∈（0，θ），g′（x）＜0，x∈（θ，π），g′（x）＞0
∴x∈[0，π]时，g（x）≥g（θ）=0
∴

2f(θ)+f(x)

3

≥f(

2θ+x

3

)
（Ⅲ）在题设条件下，同（Ⅱ）当k为偶数时

2f(θ)+f(x)

3

≥f(

2θ+x

3

)
当k为奇数时

2f(θ)+f(x)

3

≤f(

2θ+x

3

)

点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查构造函数证明不等式，有一定的综合性．