Question

17．已知$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-5≥0}\\{3x-y-5≤0}\\{x-2y+5≥0}\end{array}\right.$，求x²+y²的最小值和最大值．

Answer 1

分析 首先画出平面区域，数形结合，利用目标函数的几何意义求最值．

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-5≥0}\\{3x-y-5≤0}\\{x-2y+5≥0}\end{array}\right.$的平面区域如图：

如图，x²+y²的最小值是原点到直线2x+y-5=0的距离的平方，即$（\frac{|-5|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}）^{2}=5$，
最大值为直线3x-y-5=0与直线x-2y+5=0的交点到原点的距离的平方，由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-5=0}\\{x-2y+5=0}\end{array}\right.$得到$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$，所以最大值为3²+4²=25．

点评 本题考查了线性规划问题的解答；关键是正确画出平面区域，利用几何意义数形结合解答．