Question

如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1．

(Ⅰ)证明：SD⊥平面SAB

(Ⅱ)求AB与平面SBC所成角的大小．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(Ⅰ)取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE＝CB＝2． 　　连结SE，则 　　又SD＝1，故 　　所以为直角． 　　由，得 　　，所以． 　　SD与两条相交直线AB、SE都垂直． 　　所以 　　(Ⅱ)由知， 　　作，垂足为F，则， 　　作，垂足为G，则FG＝DC＝1． 　　连结SG，则 　　又，，故， 　　作，H为垂足，则． 　　 　　即F到平面SBC的距离为． 　　由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也为． 　　设AB与平面SBC所成的角为，则，． 　　解法二： 　　以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系C－xyz，设D(1，0，0)，则A(2，2，0)，B(0，2，0)． 　　又设S(x，y，z)，则x＞0，y＞0，z＞0． 　　(Ⅰ) 　　由得 　　故x＝1． 　　由得， 　　又由得， 　　即，故． 　　于是， 　　 　　故，又 　　所以． 　　(Ⅱ)设平面SBC的法向量， 　　则 　　又 　　故 　　取p＝2得，又 　　． 　　故AB与平面SBC所成的角为．

提示：

第(Ⅰ)问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这个条件，找出AB的中点E，连结SE，DE，就做出了解决这个问题的关键辅助线． 　　(Ⅱ)本题直接找线面角不易找出，要找到与AB平行的其它线进行转移求解．