题目内容

设点p是椭圆 $数学公式$ （a＞0，b＞0）上一点，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF₁F₂的内心，若 S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2，则该椭圆的离心率是________．

$\text{[math]}$
分析：设△PF₁F₂的内切圆半径为r，根据内心的性质，结合三角形面积公式将S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2化简整理，可得|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|．由此结合椭圆离心率公式，即可得到该椭圆的离心率．
解答：设△PF₁F₂的内切圆半径为r，则
S_△IPF1= $\text{[math]}$ |PF₁|•r，S_△IPF2= $\text{[math]}$ |PF₂|•r，S_△IF1F2= $\text{[math]}$ |F₁F₂|•r，
∵S_△IPF1+S_△IPF2=2S_△IF1F2，
∴ $\text{[math]}$ |PF₁|•r+ $\text{[math]}$ |PF₂|•r=|F₁F₂|•r，可得|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|．
∴椭圆的离心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题已知椭圆的焦点三角形的一个面积关系式，求椭圆的离心率．着重考查了三角形内切圆的性质、椭圆的标准方程和简单性质等知识，属于基础题．

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