Question

数列{a_n}是等差数列，a₂=3，前四项和S₄=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记Tn=

1

a 1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，计算T₂₀₁₁．

Answer 1

分析：（1）由a₂和S₄的值，分别利用等差数列的通项公式及前n项和公式得到关于a₁和d的方程组，求出方程组的解得到a₁和d的值，写出数列{a_n}的通项公式即可；
（2）把a_n的通项公式代入

1

anan+1

，利用拆项的方法化简后，列举出T₂₀₁₁的各项，抵消化简后即可求出值．

解答：解：（1）由a₂=3，S₄=16，根据题意得：

a1+d=3① 4a1+6d=16②

，解得：

a1=1 d=2

，
则a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T₂₀₁₁=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

a2011a2012

=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

2009×2011

+

1

2011×2013

+…+

1

4021×4023

=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2011

-

1

2013

+…+

1

4021

-

1

4023

）
=

1

2

（1-

1

4023

）
=

2011

4023

．

点评：此题要求学生熟练掌握等差数列的通项公式及前n项和公式．第2问数列求和的方法是：把a_n的通项公式代入后，利用拆项的方法得

1

anan+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），列举出各项，抵消可得值．