Question

【题目】无穷数列、、满足：，，，，记（表示3个实数、、中的最大数）.

（1）若，，，求数列的前项和；

（2）若，，，当时，求满足条件的的取值范围；

（3）证明：对于任意正整数、、，必存在正整数，使得，，.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）计算数列的前几项,可得所求；

（2）计算第2、3项可得所求范围；

（3）先证明若、、中至少有一个为0,则另两个数相等,再证明若、、中都不为0,则

（1）由题可得,;

,,,;

,,,；

,,,；

可得,,,

当时,

当时,

（2）由题,,,,；

,,,

则若满足条件,则

（3）证明：

①若、、中至少有一个为0,则另两数相等,设,假设,可得,

则,与矛盾,即,则,,此时必存在正整数,使得,,；

②若、、中都不为0,则,设,则,,,

,此时一定严格递减下去,直至存在正整数,使得

此时, 、、中有一个为0，由①可得命题成立.

则对于任意正整数、、，必存在正整数，使得，，.