Question

在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知c=1， C=

π

3

．
（Ⅰ）若cosθ=

3

5

， 0＜θ＜π，求cos（θ+C）；
（Ⅱ）若sin（A+B）+sin（A-B）=3sin2B，且B≠

π

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，利用同角三角函数的基本关系求得sinθ=

4

5

，再由两角和差的余弦公式求得cos（θ+C）的值．
（Ⅱ）由条件利用两角和差的正弦公式展开化简可得sinA=3sinB，故a=3b，由余弦定理求得b的值，再由S=

1

2

absinC求得结果．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosθ=

3

5

， 0＜θ＜π，∴sinθ=

4

5

．…（2分）
∴cos(θ+C)=cosθcos

π

3

-sinθsin

π

3

=

3

5

•

1

2

-

4

5

•

3

2

=

3-4 3

10

．…（6分）
（Ⅱ）由条件sin（A+B）+sin（A-B）=3sin2B，利用两角和差的正弦公式展开化简可得：2sinAcosB=6sinBcosB，…（8分）
∵B≠

π

2

，∴cosB≠0，∴sinA=3sinB，…（9分）∴a=3b．
由余弦定理求得：b=

7

7

，…（13分）
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC=

3 3

28

．…（15分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系、正弦定理、余弦定理以及二倍角公式的应用，属于中档题．