题目内容
已知抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于 A，B两点，O为坐标原点．
（1）求
•
的值；
（2）设
=λ•
，求△ABO的面积S的最小值；
（3）在（2）的条件下若S≤
，求λ的取值范围．
（1）求
| OA |
| OB |
（2）设
| AF |
| FB |
（3）在（2）的条件下若S≤
| 5 |
分析：（1）可设l的方程x=my+1，将其与C的方程联立，消去x可得y2-4my-4=0．设A、B点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞0＞y2），由根与系数关系可得x1x2和y1y2的值，代入数量积公式可得； （2）由
=λ•
，计算可得y2=-
，y1=2
，代入可得S=
|OF|•|y1-y2|=
+
，由基本不等式可得；（3）可得
+
≤
解之即可．
| AF |
| FB |
| 2 | ||
|
| λ |
| 1 |
| 2 |
| λ |
| 1 | ||
|
| λ |
| 1 | ||
|
| 5 |
解答：解：（1）根据抛物线的方程可得焦点F（1，0），设直线l的方程为x=my+1，
将其与C的方程联立，消去x可得y2-4my-4=0．
设A、B点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞0＞y2），则y1y2=-4．
因为y12=4x1，y22=4x2，所以x1x2=
y12y22=1，
故
•
=x1x2+y1y2=-3 …（4分）
（2）因为
=λ•
，所以（1-x1，-y1）=λ（x2-1，y2），
即 1-x1=λx2-λ①-y1=λy2②
又y12=4x1 ③，y22=4x2，④，由②③④消去y1，y2后，得到x1=λ2x2，将其代入①，
注意到λ＞0，解得x2=
．从而可得y2=-
，y1=2
，故△OAB的面积S=
|OF|•|y1-y2|=
+
因为
+
≧2恒成立，故△OAB的面积S的最小值是2…（8分）．
（3）由
+
≤
解之得
≤λ≤
…（12分）
将其与C的方程联立，消去x可得y2-4my-4=0．
设A、B点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞0＞y2），则y1y2=-4．
因为y12=4x1，y22=4x2，所以x1x2=
| 1 |
| 16 |
故
| OA |
| OB |
（2）因为
| AF |
| FB |
即 1-x1=λx2-λ①-y1=λy2②
又y12=4x1 ③，y22=4x2，④，由②③④消去y1，y2后，得到x1=λ2x2，将其代入①，
注意到λ＞0，解得x2=
| 1 |
| λ |
| 2 | ||
|
| λ |
| 1 |
| 2 |
| λ |
| 1 | ||
|
因为
| λ |
| 1 | ||
|
（3）由
| λ |
| 1 | ||
|
| 5 |
3-
| ||
| 2 |
3+
| ||
| 2 |
点评：本题考查平面向量数量积的运算，涉及圆锥曲线和基本不等式的应用，属中档题．
练习册系列答案
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如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点． A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．
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