Question

若直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有顶点都在球O的球面上，AA₁=2

3

，AB=1，AC=2，∠ABC=90°，则球O的表面积为

16π

．

Answer 1

分析：由于直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为等腰直角三角形，我们可以把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积．

解答：解：由于直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC为等腰直角三角形，
把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成四棱柱，
则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，
所以外接球半径为

1

2

12+( 3 )2+(2 3 )2

=2，
则三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的表面积是4πR²=16π．
故答案为：16π．

点评：本题考查球的体积和表面积，球的内接体问题，考查学生空间想象能力，是基础题．