Question

求证：若一条直线分别和两个相交平面平行，则这条直线必与它们的交线平行.

Answer 1

【探究】 首先将文字叙述的条件及结论转化成数学符号，利用两个辅助平面得到与a平行的直线，通过传递得到结论.

已知：a∥α，a∥β,α∩β=b.求证：a∥b.

证明：设A∈α,且Ab,过直线a和点A作平面γ交平面α于直线c，如图

∵a∥α,aγ,α∩γ=c

∴a∥c(直线和平面平行的性质定理).

再设B∈β,且Bb，同样，过直线a和点B的平面δ交平面β于直线d.

∵a∥β,∴a∥d(直线和平面平行的性质定理).∴d∥c.

又∵dβ,cβ,∴c∥β(直线与平面平行的判定定理).

又∵cα,α∩β=b,∴c∥b(直线与平面平行的性质定理).

从而a∥b.

【规律总结】 如果已知条件是“线面”平行，欲证的结论是“线线平行”，那么就需要将“线面平行”向“线线平行”转化，通常可以利用线面平行的性质定理，作辅助平面得到某条或某几条“面面的交线”来实现这种转化.