Question

4．已知函数f（x）=sin2x+2cos²x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]上的最小值和此时x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，根据二倍角公式和辅助角公式，得到该函数的解析式f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），然后，确定其周期和单调递增区间；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）和所给自变量的范围，根据正弦函数的单调性进行确定其最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+2cos²x-1．
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）
∴该函数的周期为：T=$\frac{2π}{2}$=π．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z，
∴单调递增区间：[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，（k∈Z）．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），知
f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∵$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{3π}{4}$，
∴$\frac{3π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{4}$，
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$时，即x=$\frac{5π}{8}$时，该函数有最小值为-$\sqrt{2}$．

点评 本题重点考查了二倍角公式、辅助角公式、三角函数的单调性与最值等知识，属于中档题．