Question

已知f(x)=x³-x+c定义在区间［0,1］上，x₁、x₂∈［0,1］且x₁≠x₂.

(1)证明f(0)=f(1);

(2)证明|f(x₂)-f(x₁)|＜2|x₂-x₁|;

(3)证明|f(x₂)-f(x₁)|＜1.

Answer 1

证明：(1)∵f(x)=x³-x+c,∴f(0)=c,f(1)=c,f(0)=f(1).

(2)|f(x₂)-f(x₁)|=|x₂³-x₂-(x₁³-x₁)|

=|(x₂³-x₁³)-(x₂-x₁)|

=|x₂-x₁|·|x₂²+x₁²+x₁x₂-1|,

∵x₁、x₂∈［0,1］且x₁≠x₂,

∴x₁²+x₂²+x₁x₂∈(0,3).

∴|x₂²+x₁²+x₁x₂-1|＜2.

∴|f(x₂)-f(x₁)|＜2|x₂-x₁|.

(3)∵f(0)=f(1),

∴|f(x₂)-f(x₁)|=|f(x₂)-f(1)+f(0)-f(x₁)|≤|f(x₂)-f(1)|+|f(0)-f(x₁)|

＜2|x₂-1|+2|0-x₁|.

又x₁、x₂∈［0,1］，

∴|f(x₂)-f(x₁)|＜2(1-x₂)+2x₁=2-2x₂+2x₁.                  ①

当x₂＞x₁时，|f(x₂)-f(x₁)|＜2|x₂-x₁|=2x₂-2x₁.             ②

①+②，得|f(x₂)-f(x₁)|＜1.

同理可证，当x₂＜x₁时有|f(x₂)-f(x₁)|＜1.