Question

如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E、F、G分别是棱AD、SC、BC的中点．
（1）求证：EF∥平面SAB；
（2）若SB=SC=AB=AC，求证：平面SBC⊥平面SAG；
（3）若SA=SB=SC=AB=AC=2，BC=2

2

求三棱锥D-SAC的体积．

Answer 1

分析：（1）取SB的中点为H，连接FH、AH，kd FH∥BC，并且FH=

1

2

BC，即可得到FH∥EA，并且FH=EA，即四边形AHFE为平行四边形，进而得到FE∥AH，再根据线面平行的判定定理即可证明线面平行．
（2）连接AG，SG，由AB=AC，并且G为BC的中点，可得AG⊥BC，同理可得：SG⊥BC，再结合线面垂直与面垂直的判定定理即可证明面面垂直．
（3）由题意可得：V_D-SAC=V_S-ACD，即可得到V_S-ACD=V_S-ABC．根据线段的长度关系并且在△ABC中结合勾股定理可得：AC⊥AB，并且AG=

2

，同理可得：SG=

2

，在△AGS中根据勾股定理可得SG⊥AG，进一步得到SG⊥平面ABC，进而求出三棱锥的体积．

解答：解：（1）证明：取SB的中点为H，连接FH、AH，

因为F、H分别为SC、SB的中点，
所以FH∥BC，并且FH=

1

2

BC，
又因为E为AD的中点，
所以EA∥BC，并且EA=

1

2

BC，
所以FH∥EA，并且FH=EA，
所以四边形AHFE为平行四边形，
所以FE∥AH，
又因为AH?平面ABS，EF?平面ABS，
所以EF∥平面SAB．
（2）证明：连接AG，SG，
因为AB=AC，并且G为BC的中点，
所以AG⊥BC，
同理可得：SG⊥BC，
因为AG∩SG=G，AG?平面SAG，SG?平面SAG，
所以BC⊥平面SAG，
又因为BC?平面SBC，
所以平面SBC⊥平面SAG．
（3）由题意可得：V_D-SAC=V_S-ACD，
因为在四棱锥S-ABCD中，并且底面ABCD为平行四边形，
所以V_S-ACD=V_S-ABC．
因为AB=AC=2，BC=2

2

，
所以在△ABC中，根据勾股定理可得：AC⊥AB，并且AG=

2

，
同理可得：SG=

2

，
因为SA=2，
所以在△AGS中，根据勾股定理可得SG⊥AG．
又由（2）可得SG⊥BC，
所以SG⊥平面ABC．
所以VS-ACD =VS-ABC=

1

3

•S△ABC•SG=

1

3

×

1

2

×2×2×

2

=

2 2

3

，
所以三棱锥D-SAC的体积为

2 2

3

．

点评：本题主要考查线线平行，线面平行与垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理，解决此类问题的关键是熟练记忆有关的判定定理、性质定理，以及熟悉几何体的结构特征．