题目内容

过双曲线
x2
25
-
y2
16
=1上任意一点P作x轴的平行线交两条渐近线于Q，R两点，则
PQ
•
PR
=
25
25
．
分析：利用数量积和点P在双曲线上即可得出．
解答：解：设P（x0，y0），Q（x1，y0），R（x2，y0）．
联立
y=
4
5
x
y=y0
，解得x1=
5
4
y0，
同理x2=-
5
4
y0，
∵
x
2
0
25
-
y
2
0
16
=1，∴
PQ
•
PR
=(
5
4
y0-x0，0)•(-
5
4
y0-x0，0)=
x
2
0
-
25
y
2
0
16
=25．
故答案为25．
点评：熟练掌握数量积、点与双曲线的关系是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
给出下列命题：
①过点P（2，1）的抛物线的标准方程是y2=
1
2
x；
②双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1有相同的焦点；
③焦点在x轴上的双曲线C，若离心率为
5
，则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x．
④椭圆
x2
m+1
+
y2
m
=1的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上的动点，△PF1F2的面积的最大值为2，则m的值为2．其中真命题的序号为
 
．（写出所有真命题的序号）
给出以下命题：
①过点P（2，3），且与圆（x-1）2+（y-1）2=1相切的直线方程为3x-4y+6=0；
②双曲线
y2
49
-
x2
25
=-1的渐近线方程为y=±
7
5
x；
③不等式
1-2x
(x-1)(x+3)
≤0的解集为{x|x＜-3或
1
2
≤x＜1}；
④已知点A（4，-2），抛物线y2=8x的焦点为F，点M在抛物线上移动，则|MA|+|MF|的最小值为6．
其中正确命题的序号是
②④
②④
．
已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为x=
3
2
，且与椭圆
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
（重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L1：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
给出下列命题：
①过点P（2，1）的抛物线的标准方程是y2=
1
2
x；
②双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1有相同的焦点；
③焦点在x轴上的双曲线C，若离心率为
5
，则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x．
④椭圆
x2
m+1
+
y2
m
=1的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上的动点，△PF1F2的面积的最大值为2，则m的值为2．其中真命题的序号为______．（写出所有真命题的序号）

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