Question

已知函数f（x）=x|x-a|（a∈R）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）解关于x的不等式：f（x）≥2a²．

Answer 1

分析：（1）分a=0和a≠0两种情况，依据函数奇偶性的定义判断其奇偶性．
（2）将不等式的绝对值去掉，等价转化为2个不等式组，分a=0、a＞0、a＜0三种情况来解不等式组，最后将得到的解集取并集．

解答：解：（1）当a=0时，
f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
当a≠0时，f（a）=0且f（-a）=-2a|a|．
故f（-a）≠f（a）且f（-a）≠-f（a）．
∴f（x）是非奇非偶函数．
（2）由题设知x|x-a|≥2a²，
∴原不等式等价于

x＜a -x2+ax≥2a2

①
或

x≥a x2-ax≥2a2.

②
由①得

x＜a x2-ax+2a2≤0.

x∈∅．
由②得

x≥a (x-2a)(x+a)≥0.

当a=0时，x≥0．
当a＞0时，

x≥a x≤2a或x≥-a

∴x≥2a．
当a＜0时，

x≥a x≥2a或x≤-a

即x≥-a．
综上
a≥0时，f（x）≥2a²的解集为{x|x≥2a}；
a＜0时，f（x）≥2a²的解集为{x|x≥-a}．

点评：本题考查函数奇偶性、绝对值不等式的解法．