Question

【题目】在数列中，已知，且对于任意正整数n都有．

（1）令，求数列的通项公式；

（2）求的通项公式；

（3）设是一个正数，无论为何值，都有一个正整数使成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）； （3）见解析．

【解析】

（1）由，化为，根据，且，可得且，利用等比数列的通项公式即可得出．

（2）由（1）可得，可得，令，可得，利用等比数列的通项公式可得，即可得出．

（3）假设存在无论为何值，都有一个正整数使成立，代入化简，即可求解．

（1）由题意，知，所以，

因为，且，

所以且，

所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，所以．

（2）由（1）可得，所以，

令，则，所以，且，

所以数列构成首项为，公比为的等比数列，

所以，即，

所以．

（3）假设存在无论为何值，都有一个正整数使成立，

因为，

即，可得，

取，

因此是一个正数，无论为何值，都有一个正整数使成立，

取的正整数即可．