Question

已知⊙C：x²+y²=16，直线l：mx-y+2-2m=0
（1）求证：对m∈R，直线l与⊙C总有两个不同的交点；
（2）求直线l与圆⊙C相交所得弦长为整数的弦的条数．

Answer 1

分析：（1）有直线的方程可得直线L过定点M，而点M在圆C的内部，从而可得直线L与圆C必相交两个不同的点．
（2）由于当弦长最短时，MC和直线l垂直，求出AB，直线经过圆的圆心时弦长最大，然后判断所得弦长为整数的弦的条数．

解答：解：（1）∵直线l：mx-y+2-2m=0，即（x-3）m-y+2=0，

x-2=0 y+2=0

，∴

x=2 y=2

，它的图象经过定点M（2，2），而2²+2²=8＜16，所以，点M（2，2）在圆C内，
所以：直线l与⊙C总有两个不同的交点．
（2）由直线l经过⊙C的圆心时，弦长AB取得最大值：8，此时m=1，
当直线l⊥MC时，弦长AB取得最小值，MC=2

2

，∴AB=2

16-8

=4

2

，
此时m=-1，．
综上有：4

2

≤|AB|≤8，弦长为整数的值为：6，7，8而AB=8时只有1条，
直线l与圆⊙C相交所得弦长为整数的弦的有5条．

点评：本题主要考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系，直线与相交的弦长问题，属于中档题．