Question

从双曲线x²-y²=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N．求线段QN的中点P的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：设P（x，y），欲求其轨迹方程，即寻找其坐标间的关系，根据垂线的关系及点Q在双曲线上，代入其方程即可得到．
解答：解：设动点P的坐标为（x，y），点Q的坐标为（x₁，y₁）
则N（ 2x-x₁，2y-y₁）代入x+y=2，得2x-x₁+2y-y₁=2    ①
又PQ垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y₁-x₁=0     ②
由①②解方程组得x₁=x+y-1，y₁=x+y-1，
代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x²-2y²-2x+2y-1=0．
点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x’，y’）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’，y’表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．