Question

3．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²=$\frac{3}{1+2co{s}^{2}θ}$，直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$．
（1）写出曲线C₁与直线l的直角坐标方程；
（2）设Q为曲线C₁上一动点，求Q点到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）展开把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$代入可得直角坐标方程．
（2）设与直线l平行且与曲线C₁相切的直线方程为：x+y+m=0，与椭圆方程联立化为：4x²+2mx+m²-3=0，令△=0，解得m，再利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ²=$\frac{3}{1+2co{s}^{2}θ}$，化为ρ²+2（ρcosθ）²=3，可得直角坐标方程：x²+y²+2x²=3，即3x²+y²=3．

直线l的极坐标方程为ρ=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$，化为ρcosθ+ρsinθ=4，化为直角坐标方程：x+y-4=0．
（2）设与直线l平行且与曲线C₁相切的直线方程为：x+y+m=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+m=0}\\{3{x}^{2}+{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，化为：4x²+2mx+m²-3=0，
令△=4m²-16（m²-3）=0，解得m=±2．取切线x+y-2=0．
直线l与切线的距离d=$\frac{|-2-（-3）|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴Q点到直线l的距离的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与椭圆相切问题、点到直线的距离公式、平行线之间的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．