Question

在四面体A-BCD中，共顶点A的三条棱两两互相垂直，且AB=AC=1，AD=

2

若四面体的四个顶点在一个球面上，则B，D的球面距离为

2π

3

．

Answer 1

分析：由已知中四面体A-BCD中，共顶点A的三条棱两两互相垂直，我们可得四面体的外接球即为以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球，又由AB=AC=1，AD=

2

，可求出其外接球半径及弦BD的长，进而求出球心角∠BOD，代入弧长公式，即可求出B，D的球面距离．

解答：解：∵四面体A-BCD中，共顶点A的三条棱两两互相垂直，且AB=AC=1，AD=

2

故四面体的外接球即为以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球
可求得此长方体的体对角线长为2
则球半径R=1
弦BD=

3

则cos∠BOD=

OB2+OD2-BD2

2OB•OD

=

1+1-3

2

=-

1

2

∴球心角∠BOD=120°
故B，D的球面距离为

120°

360°

•2π×1=

2π

3

故答案为：

2π

3

点评：本题考查的知识点是球面距离及相关计算，余弦定理，弧长公式，其中根据已知条件求出球半径和球心角是解答本题的关键．