Question

对于给定的n项数列S={a₁，a₂，…，a_n}，令f（S）为n-1项数列{

a1+a2

2

，

a2+a3

2

，…，

an-1+an

2

}；设x＞0，且S={1，x，x²，…，x¹⁰⁰}，若

ff…f

100个

(S)={

1

250

}，则x的值为（　　）

• A．1-

  2

  2

• B．

  2

  -1
• C．

  1

  2

• D．2-

  2

Answer 1

分析：由于x＞0，且S={1，x，x²，…，x¹⁰⁰}，根据题意得到f（S）为100项数列{

1 +x

2

，

x+x 2

2

，…，

x 99+ x 100

2

}，ff（S）为99项数列{

1 +x+x+x 2

4

，

x+x 2+x 2+x 3

4

，…，

x 98+x 99+x  99+ x 100

4

}，归纳得出

(x+1) 100

2 100

=

1

2 50

，从而解得x的值．

解答：解：设x＞0，且S={1，x，x²，…，x¹⁰⁰}，
∴f（S）为100项数列{

1 +x

2

，

x+x 2

2

，…，

x 99+ x 100

2

}，
ff（S）为99项数列{

1 +x+x+x 2

4

，

x+x 2+x 2+x 3

4

，…，

x 98+x 99+x  99+ x 100

4

}，
…

ff…f

100个

(S)={

1

250

}，则有：

(x+1) 100

2 100

=

1

2 50

，
∴x+1=

2

（-

2

舍去），⇒x=

2

-1．
故选B．

点评：本小题主要考查数列的函数特性、数列的求和、二项式定理等基础知识，考查运算求解能力与归纳思想．属于基础题．