Question

如图，已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上任意一点，圆是以为直径的圆．
（1）若圆过原点，求圆的方程； 
（2）写出一个定圆的方程，使得无论点在椭圆的什么位置，该定圆总与圆相切,请写出你的探究过程．

Answer 1

（1）或；（2）.

试题分析：（1）因为是圆的直径，所以当圆过原点时，一定有，由此可确定点的位置并进一步求出圆的标准方程；
（2）设圆M的半径为,连结，显然有
根据椭圆的标准方程知,
所以，从而找到符合条件的定圆.
解：（1）解法一：因为圆过原点，所以，所以是椭圆的短轴顶点，的坐标是或，于是点的坐标为或，       
易求圆的半径为
所以圆的方程为或       6分
解法二：设，因为圆过原点，所以
所以，所以，所以点
于是点的坐标为或，易求圆的半径
所以圆的方程为或        6分
（2）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆相内切，定圆的方程为     8分
探究过程为：设圆的半径为，定圆的半径为，
因为，
所以当原点为定圆圆心，半径时，定圆始终与圆相内切．  （13分）