题目内容
在三角形ABC中，已知AB=4，AC=2，内角A的平分线长AD=
，则BC=（ ）
4
| ||
| 3 |
分析：过B作BE∥AC，与AD的延长线交于点E，作BH⊥AE，垂足为点H．由条件可得△ACD∽△EBD，求得DE、AH、BH，可得DH的值，利用勾股定理求得BD、CD，从而求得BC的值．
解答：
解：过B作BE∥AC，与AD的延长线交于点E，
∴∠E=∠CAD，∵AD为角平分线，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠E=∠BAD，即△ABE为等腰三角形．
∴AB=BE=4，作BH⊥AE，垂足为点H，
∴H为AE中点，即AH=EH=
AE．
又∵BE∥AC，∴∠E=∠CAD，∠EBD=∠C，
∴△ACD∽△EBD，又AC=2，BE=4，AD=
，
∴
=
=
=
=
，
=
，∴
=
=
=
，
∴ED=
，AE=AD+DE=
+
=4
．
∴AH=
=2
，在Rt△ABH中，利用勾股定理得：BH=
=2，
DH=AH-AD=2
-
=
．
在Rt△BHD中，利用勾股定理得：BD=
=
，
∵
=
，CD=
BD=
，故 BC=BD+CD=
+
=2
．
故选B．
解：过B作BE∥AC，与AD的延长线交于点E，∴∠E=∠CAD，∵AD为角平分线，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠E=∠BAD，即△ABE为等腰三角形．
∴AB=BE=4，作BH⊥AE，垂足为点H，
∴H为AE中点，即AH=EH=
| 1 |
| 2 |
又∵BE∥AC，∴∠E=∠CAD，∠EBD=∠C，
∴△ACD∽△EBD，又AC=2，BE=4，AD=
4
| ||
| 3 |
∴
| AD |
| DE |
| CD |
| BD |
| AC |
| BE |
| 2 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| CD |
| BD |
| 1 |
| 2 |
| ||||
| ED |
| CD |
| BD |
| AC |
| BE |
| 1 |
| 2 |
∴ED=
8
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
8
| ||
| 3 |
| 3 |
∴AH=
| 1 |
| 2AE |
| 3 |
| AB2-AH2 |
DH=AH-AD=2
| 3 |
4
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
在Rt△BHD中，利用勾股定理得：BD=
| BH2+DH2 |
4
| ||
| 3 |
∵
| CD |
| BD |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 3 |
故选B．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题．
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