题目内容
【题目】已知椭圆C： 
的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D 
在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂涎，垂足分别为A1、B1
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：∵椭圆C： 
的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D 
在椭圆C上，
∴由题意得 
，解得a2=4，b2=3，
∴椭圆C的方程为 
（2）
解：假设存在这样的直线l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣ 
，0），
∵PM=MN，∴P（ ，2m），Q（ 
），
∴直线QM的方程为y=﹣3kx+m，
设A（x1，y1），由 
，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，
∴ 
，∴ 
，
设B（x2，y2），由 
，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，
∴x2+ = 
，∴x2=﹣ 
，
∵点N平分线段A1B1，∴ 
，
∴﹣ 
=﹣ 
，∴k= 
，
∴P（±2m，2m），∴ 
，解得m= 
，
∵|m|= 
＜b= 
，∴△＞0，符合题意，
∴直线l的方程为y= 
【解析】（1）由椭圆的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D 在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，则直线QM的方程为y=﹣3kx+m，由 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，由 ，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件，能求出直线l的方程．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
才能得出正确答案．
