Question

下列函数是偶函数且在区间（0，1）上是增函数的是（　　）

• A、y=cosx
• B、y=|x+1|
• C、y=ln

  2+x

  2-x

• D、y=e^x+e^-x

Answer 1

分析：根据选项逐个分析即得答案，A．y=cosx是偶函数，在[0，

π

2

]上是减函数；B．y=|x+1|不是偶函数；C．y=ln

2+x

2-x

根据偶函数的定义可得，它不是偶函数；D．根据偶函数的定义可判定其是偶函数，利用导数研究其在区间（0，1）上的单调性．

解答：解：A．∵y=cosx是偶函数，在[0，

π

2

]上是减函数，∴y=cosx在区间（0，1）上是减函数，故A不正确；
B．y=|x+1|的图象是有y=|x|相左平移一个单位而得到，而函数y=|x|是偶函数，故y=|x+1|不是偶函数，故B不正确；
C．y=ln

2+x

2-x

的定义域为（-2，2），且ln

2-x

2+x

+ln

2+x

2-x

=0，∴y=ln

2+x

2-x

是奇函数，不是偶函数，故C不正确；
D．易证y=e^x+e^-x是偶函数，y′=e^x-e^-x

e2x-1

ex

＞0，x∈（0，1），
∴y=e^x+e^-x在区间（0，1）上是增函数．
故选D．

点评：考查基本初等函数的奇偶性和单调性，以及图象的变换，和利用导数研究函数的单调性，综合性较强，属基础题．