Question

已知在函数f（x）=mx³-x的图象上以点N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

π

4

．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1992对于x∈[-1，3]恒成 立？如果存在，请求出最小的正整数k，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，得到切线的斜率等于tan

π

4

．建立等式关系，求出m的值，再将切点代入曲线方程，求出n的值；
（Ⅱ）要使得不等式f（x）≤k-1992对于x∈[-1，3]恒成立，即求k≥[1992+f（x）]max，先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，即可求出k的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3mx²-1，f′（1）=1，∴3m-1=1，∴m=

2

3

．
∴f（x）=

2

3

x3-x，f(1)=

2

3

-1=-

1

3

．
又点N（1，n）在曲线上，∴n=-

1

3

．…（6分）
（Ⅱ）由f′（x）=2x²-1，x∈[-1，3]知，
当x∈(-1， -

2

2

)∪(

2

2

   ，3)时f′（x）＞0；
当x∈(-

2

2

，  

2

2

)时f′（x）＜0，
∴f(x)在[-1，-

2

2

]和[

2

2

，3]上递增，在[-

2

2

，

2

2

]上递减．…（8分）
∵f(-

2

2

)=

2

3

，f(3)=15，∴f（x）在[-1，3]上最大值为15．∴k-1992≥15，k≥2007．
故存在最小自然数2007．…（12分）

点评：本题以三次函数的切线为载体，主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，属于中档题．