Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x₁（x₁＞0），过点A作抛物线C的切线l₁交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y=于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．
（Ⅰ）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l₂交直线l₁于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x₁值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设A的坐标，可得切线AD的方程，从而可得D、Q的坐标，进而可得|FQ|=|FA|，即△AFQ为等腰三角形，且D为AQ的中点，利用|DF|=2，∠AFD=60°，即可求抛物线方程；
（II）求出B处的切线方程，与切线AD的方程联立，可得P的坐标，求出M，N的坐标，可得△PMN面积，设AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，化简面积表达式，再利用导数的方法，可求面积的最小值，从而可得结论．
解答：（Ⅰ）证明：设A（x₁，y₁），则切线AD的方程为，所以D（，0），Q（0，-y₁）
∴|FQ|=，|FA|=，∴|FQ|=|FA|，∴△AFQ为等腰三角形，且D为AQ的中点
∴DF⊥AQ
∵|DF|=2，∠AFD=60°
∴∠QFD=60°，=1
∴p=2
∴抛物线方程为x²=4y；
（II）解：设B（x₂，y₂）（x₂＜0），则B处的切线方程为，与联立，可得P（，）
由，可得M（，1）
同理N（，1），所以面积S=[（）-（）]（1-）=…①
设AB的方程为y=kx+b，则b＞0
由，消去y可得x²-4kx-4b=0，得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b代入①得：
S==，要使面积最小，则k=0得到S=②
令，②得S（t）==，S′（t）=，
所以当t∈（0，）时，S（t）单调递减；当t∈（，+∞）时，S（t）单调递增，
所以当t=时，S取到最小值为，此时，k=0，
所以，．
点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查导数知识的运用，综合性强．